夏休み中に基礎力チェック！　2017 センター試験数学ⅡB第 2 問を解こう

夏休みも終盤になりましたが基礎力チェックをしていきましょう。

今回は2017 センター試験数学ⅡB第 2 問です。
問題はこちら
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(1) 思考過程

センター定番の定点を通過する接線を求める問題です.

この手の問題は

1. 接点を設定する
2. 接線の方程式を立てる
3. 2.の方程式に定点の座標を代入して接点の満たす条件式を求める

の流れになります.

本問では定点は $P\ (a\ ,2a)$ です.

接点が $(t\ ,t^2+1)$ と設定されています.

$f(x)=x^2+1$ とおきます.

接線の方程式は

・接点における微分係数（接点での傾きを表します）
と
・通過点

がわかれば求まります.

$x=t$ における $f(x)$ の微分係数を求めましょう.

$f'(x)=2x$

ですから $x=t$ における $f(x)$ の微分係数は

$f'(t)=2t$

です

傾き $m$ で点 $(a\ ,b)$ を通る直線の方程式は

$y=m(x-a)+b$

でしたよね.

いまは傾き $2t$ でC上の点 $(t\ ,t^2+1)$ ですから

$y=2t(x-t)+t^2+1\\\ \ =2tx-t^2+1・・・（Ⅰ）$

これが $(t\ ,t^2+1)$ における接線の方程式です.

これが $P(a\ ,2a)$ を通るのですから（Ⅰ）の $(x\ ,y)$ に $(a\ ,2a)$ を代入して

$2a=2ta-t^2+1⇔t^2-2at+2a-1=0・・・（Ⅱ）$

（Ⅱ）は点 $P$ を通るときの $t$ が満たすべき条件式です.

つまり（Ⅱ）を満たす $t$ が存在することが点 $P$ を通過する接線が存在する条件です.

（接線の存在条件が接点の存在条件に言い換えられていることに注意してください）

前回も話した通り，ある文字についての存在条件とはその文字について解くことで導かれます.

（Ⅱ）を $t$ について解きましょう.

2次方程式ですから解の公式を使ってもよいのですが（Ⅱ）に $t=1$ を代入すると（Ⅱ）=0 が簡単に確かめられるので因数分解すると

（Ⅱ）⇔ $\{t-(2a-1)\}(t-1)=0$

となりますから（Ⅱ）を満たす $t$ は

$t=2a-1\ ,\ 1$

です.

3次以下の多項式関数において

「定点を通る接線の本数」＝「定点を通る接線の接点の個数」

が成り立ちます．

$2a-1=1⇔a=1$ のとき，接点が重複し接線が1本しか存在しないことになるので不適です.

よって接線の本数が2本になるのは接点の個数が2個のときで

$a\neq1$

です.　このとき

$t=2a-1\ ,\ 1$

の2個の $t$ が（Ⅰ）を満たすことになるのでこの2個の $t$ をそれぞれ（Ⅰ）に代入して

$y=(4a-2)x-4a^2+4a$ ・・・①

$y=2x$

を得ます.

(1) ポイント

思考過程でも書きましたが

1. 接点を設定する
2. 接線の方程式を立てる
3. 2.の方程式に定点の座標を代入して接点の満たす条件式を求める

の流れを把握することです.

センターでは完全に誘導されていますが二次ではノーヒントです.

自力でこの流れができるようにしてください.

この流れは定点を通過する接線の存在をその接線の接点の存在に言い換えるためのものです.

3次以下の多項式関数においては

「定点を通る接線の本数」＝「定点を通る接線の接点の個数」・・・（☆）

が成り立ちますから接線の存在条件と接点の存在条件が同値になるのです.

ただし「3次以下の多項式関数」と留保していることに注意してください.

4次以上の多項式関数では（☆）が成り立ちません.

これは接点の個数と接線の本数が一致しない状況を考えればわかります.

接点の個数と接線の本数が一致しない状況とは

「1本の接線が2個以上の接点を持つとき」です.

図1
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このような複数の接点を持つ接線のことを「複接線」といいます.

つまり

「複接線が存在する」⇒「（☆）は不成立」

です.　この対偶をとれば

「（☆）が成立」⇒「複接線が存在しない」

（☆）の成立には「複接線が存在しない」ことが必要です.

そして「3次以下の多項式関数」には複接線が存在しません.

図1を例に証明すると

$y=f(x)$ , $y=g(x)$ が $x=t_1,\ t_2$ の2点で接するとき

$f(x)-g(x)$ が $(x-t_1)^2(x-t_2)^2$ を因数にもつことになり $f(x)-g(x)$ は最低でも4次の多項式となります.

直線 $y=g(x)$ は最高でも1次ですから $y=f(x)$ は最低でも4次以上の多項式ということになります.

つまり複接線が存在する多項式関数 $y=f(x)$ は最低でも4次以上で3次以下となることはありません.

よって「3次以下の多項式関数」には複接線が存在しません.

そして

複接線が存在しないとき，１本の接線に２個以上の接点が存在することはなく１本の接線には１個の接点が存在することになります.

その結果，接線の本数と接点の個数は一対一に対応します.

よって

「複接線が存在しない」⇒「（☆）は成立」

となり結局

「接線の本数と接点の個数が一致する」⇔「接線を持つ曲線が3次以下の多項式関数」（★）

ということなになります.

（より正確に言えば曲線ということですから2次または3次の多項式関数です）

本問では2次の多項式関数の接線を求めているのですから（★）を満たします.

(2) 思考過程

$y=(4a-2)x-4a^2+4a$ ・・・①

を直線 $l$ とし $y$ 軸との交点を $R\ (0\ ,r)$ とするのですから①に $x＝0$ を代入して

$r=-4a^2+4a$

$r＞0$ となるのは

$r＞0⇔-4a^2+4a.＞0\\⇔a(a-1)＜0\\⇔0＜a＜1$

$R\ (0\ ,-4a^2+4a),\ P\ (a\ ,2a)$

となり $R$ は $y$ 軸上にあるから $P$ の $x$ 座標が三角形 $OPR$ の高さになります.

図2
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よって三角形 $OPR$ の面積 $S$ は

$\displaystyle S=\frac{1}{2}a(-4a^2+4a)\\=2(a^2-a^3)$

$0＜a＜1$ のもとで $S$ の増減を調べるため $S$ を $S(a)$ として $a$ で微分して導関数 $S'(a)$ を求めます.

$S'(a)=2(2a-3a^2)\\=-2a(3a-2)$

$\begin{array}{|c|*5{c|}}\hline a & 0 & \cdots & \frac{2}{3} & \cdots & 1 \\ \hline s'(a) & & + & 0 & - & \\ \hline s(a) & &\nearrow& &\searrow& \\ \hline \end{array}$

増減表より
$S'(a)$ は $\displaystyle 0＜a＜\frac{2}{3}$ で正の値をとり $\displaystyle a=\frac{2}{3}$ の前後で正から負へと符号が変化するので $S(a)$ は $\displaystyle 0＜a＜\frac{2}{3}$ で単調増加， $\displaystyle a=\frac{2}{3}$ で極大となります.

これより $0＜a＜1$ で $S(a)$ が最大となる可能性は $\displaystyle a=\frac{2}{3}$ のときしかありません.

よってSの最大値は $S(\frac{2}{3})$ です.

$S(\frac{2}{3})=2\{(\frac{2}{3})^2-(\frac{2}{3})^3\}\\\displaystyle =2\left(\frac{4}{27}\right)\\\displaystyle =\frac{8}{27}$

これで(2)はおしまいです.

(2) ポイント

・三角形 $OPR$ の面積は立式できましたか？

$O\ ,P\ ,R$ の各座標がわかっているのでベクトルの成分計算を利用して

$\displaystyle S=\frac{1}{2}|0\cdot2a-(-4a^2+4a)\cdot a|$

や

$\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{(\overrightarrow{|OP|})^2(\overrightarrow{|OR|})^2-(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OR})^2}$

として面積を求める方法もありますが三角形の一辺が座標軸と平行な場合（本問では $OR$ が $y$ 軸に平行），その辺を底辺とみることで小学校以来おなじみの（底辺）×（高さ）÷2の公式が使えるようになります.

この手法のほうが計算量が少なくて済むのでおススメです.

・面積の関数Sは3次関数となります

この関数の最大値を求めるには定義域内における関数の増減を調べる必要があります.

関数の増減は導関数の符号（正負）と一致します.

よって導関数を求めてその符号変化を調べることになります.

導関数が正から負へ変化するとき元の関数は増加から減少へと転じるのでそのときの値（極大値）が最大値の「候補」です.

ここで注意してほしいのは極大値はあくまで最大値の候補であって必ず最大値になるとは限らないということです.

極大値が最大値になるかどうかは定義域で決まります.

本問では定義域 $0＜a＜1$ 内に極大値を超える値が存在しないため極大値が最大値となりますが

図3
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のような場合，3次関数 $y=f(x)$ は

定義域が $0＜x＜c$ のとき，極大値 $f(a)$ が最大値となりますが

定義域が $0＜x＜d$ のとき，極大値 $f(a)$ を定義域の上限での関数値 $f(d)$ が越えるため， $f(d)$ が最大値となります.

実戦的な最大値の判定としては

１．極大値を与える点が定義域内に含まれているか（含まれなければ最大値にはなりえない）
２．含まれているとして極大値以外に最大値となりうる点はないか（あれば極大値との大小比較が必要）

の2段構えが必要です.

「極大値＝最大値」

と丸暗記している人がいるので注意してください.

(3) 思考過程

$0＜a＜1$ において放物線 $C$ ，直線 $l$ ，直線 $x=0\ ,\ x=a$

で囲まれた図形の面積 $T$ を求めよとのこと

直線 $l$ の接点の $x$ 座標 $2a-1$ は $0＜a＜1$ のとき

$0＜a＜1\\⇔0＜2a＜2\\⇔-1＜2a-1＜1$

となって $-1$ から $1$ の範囲を動きます.

$-1＜2a-1＜0$ のときと $0≦2a-1＜1$ のときとで $T$ が表す図形の概形が変化するため場合分けが必要な気がしますが

・図形の境界となる $x=0\ ,\ x=a$ が定積分の積分区間となること

・ $T$ の計算に現れる定積分の被積分関数が上記の積分区間内において変わらないこと

に注意すると場合分けが不要なことがわかります.

$T$ が表す図形のヨコは直線 $x=0\ ,\ x=a$ で決まるため，あとはタテの境界を決める関数の上下関係が問題となります.

放物線 $C$ は2次の係数の符号が正ですから下に凸な関数です.

直線 $l$ は $C$ の接線ですから必ず $C$ の下側に位置することになります.

$T$ の被積分関数は

（上の境界を決める関数）ー（下の境界を決める関数）
ですから

（放物線 $C$ ) －（直線 $l$ ）

となります. ここで
　
・ $C$ と $l$ が $x=2a-1$ で接することよりこの差の関数を表す多項式は $\{x-(2a-1)\}^2$ を因数にもつ

・放物線（2次）－　直線（1次）だからこの差の関数は2次の多項式で最高次の係数は放物線Cの最高次の係数と一致する

の上記2点に注意すると

$T$ の被積分関数は

$\{x-(2a-1)\}^2$ ・・・②

と書けます.

②を $x=0$ から $x=a$ の範囲で積分したものが $T$ です.

$\displaystyle T=\int_0^a\{x-(2a-1)\}^2dx\\\displaystyle =\frac{1}{3}\left[\{x-(2a-1)\}^3\right]_0^a\\\displaystyle =\frac{1}{3}\{(1-a)^3-(1-2a)^3\}\\\displaystyle =\frac{1}{3}(7a^3-9a^2+3a)\\\displaystyle =\frac{7}{3}a^3-3a^2+a$

これで $T$ が求まりました.

最後は関数 $T$ の挙動を調べて終わりです.

関数の挙動は導関数の符号から判断します.

$T$ を $a$ で微分した導関数を $T'$ とすると

$T'=7a^2-6a+1$

$a$ の2次関数 $T'$ のグラフを描いて $\displaystyle \frac{2}{3}≦a＜1$ における $T'$ の符号を調べます.

$T'$ の概形を知るため $T'$ を平方完成します.

$\displaystyle T'=7(a-\frac{3}{7})^2-\frac{2}{7}$

$\displaystyle \frac{3}{7}＜\frac{2}{3}$ より定義域の左の端点 $\displaystyle a=\frac{2}{3}$ は $T'$ の軸の右側に位置します.

$\displaystyle a=\frac{2}{3}$ のときの $T'$ の値を求めると

$\displaystyle T'(\frac{2}{3})=\frac{1}{9}$

下に凸な2次関数の軸の右側は単調増加となるので $T'$ は図4のようになります.

図4
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$\displaystyle \frac{2}{3}≦a＜1$ において $T'$ は正だから $T$ はこの範囲で単調増加します.

よって解答欄へにあてはまるのは選択肢②の「増加する」です.

これで(3)はおしまいです.

(3) ポイント

・「 $l$ の接点が積分区間に含まれているか否か」での場合分けが不要なことを判断できましたか？
図5
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図6
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図5,6 のように一見 $T$ の概形が変化するため別の関数に関する計算が必要な気になります.