2017年京都大学数学理系第 5 問を解こう

秋の３連休も終わりました。気を引き締めて受験勉強のほうを加速させていきましょう。

今回は2017年京都大学数学理系第 5 問を解いていきましょう。
問題はこちら

$a≧0$ とする． $0≦x≦\sqrt{2}$ の範囲で曲線 $y=xe^{-x}$ ，直線 $y=ax$ ，直線 $x=\sqrt{2}$ によって囲まれた部分の面積を $S(a)$ とする．このとき， $S(a)$ の最小値を求めよ．

( ここで「囲まれた部分」とは，上の曲線または直線のうち $2$ つ以上で囲まれた部分を意味するものとする．)
( 2017 京都大学理系第 5 問 )

思考過程

曲線と直線で囲まれた面積の最小値を求めよという問題です。

与えられた曲線と直線の中で $y=ax$ だけが文字定数 $a$ の値によって形を変えます。

$y=ax$ と $x=\sqrt{2}$ の位置関係はすぐにわかります。

$y=ax$ と $y=xe^{-x}$ の位置関係によって $S(a)$ が変化しそうです。

$y=ax$ と $y=xe^{-x}$ の交点を求めてみましょう。

$xe^{-x}=ax ⇔x(e^{-x}-a)=0$

$y=ax$ と $y=xe^{-x}$ の交点は

$x=0\ , \ x=-\log a$

となります。
図1
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図1より
$-\log a$ が $0≦x≦\sqrt{2}$ に含まれるか否かで $y=ax$ と $y=xe^{-x}$ の上下関係が変化し $S(a)$ の式も変化することがわかります。

場合分けして $S(a)$ の様子を調べてみましょう。

$Ⅰ$ . $-\log a＜0$ のとき

$-\log a＜0\\⇔\log a＞0\\⇔a＞1$

図2
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図2より
$a＞1$ のとき、 $S(a)$ は単調増加となることがわかります。

式で確認すると

$\displaystyle S(a)=\int_{0}^{\sqrt{2}}(ax-xe^{-x})dx$

ここで， $xe^{-x}$ の原始関数を $F(x)$ , $ax$ の原始関数を $G(x)$ とすると

$\displaystyle F(x)=-(x+1)e^{-x}\ ,\ G(x)=\frac{a}{2}x^2$

$\displaystyle S(a)=\left[\ G(x)\ \right]_{0}^{\sqrt{2}}-\left[\ F(x)\ \right]_{0}^{\sqrt{2}}$

$S(a)=G(\sqrt{2})-G(0)-\left[\ F(x)\ \right]_{0}^{\sqrt{2}}$

いま， $S(a)$ の増減を知りたいのだから $S(a)$ を $a$ で微分することを考えます。

すると $F(x)$ は $xe^{-x}$ の原始関数なのだから $a$ を含まず $a$ で微分すると消えます。

$S(a)=a-\left[\ F(x)\ \right]_{0}^{\sqrt{2}}$

$S'(a)=1$

このとき、 $S(a)$ は最小値をもちません。

$Ⅱ$ . $-\log a\ ＞\sqrt{2}$ のとき

$-\log a\ ＞\sqrt{2}\\⇔\log a＜-\sqrt{2}\\⇔a＜e^{-\sqrt{2}}$

$a≧0$ だから

$0≦a＜e^{-\sqrt{2}}$

図3
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図3より
$0≦a＜e^{-\sqrt{2}}$ のとき、 $S(a)$ は単調減少となり、 $S(0)$ で最大値をとりますが最小値は存在しません。

$Ⅰ，Ⅱ$ より $S(a)$ が最小値をもつのは

$e^{-\sqrt{2}}≦a≦\sqrt{2}$

のときです。

$-\log a$ をいちいち書くのは面倒なので

$t=-\log a$

とします。

図4
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図4より
$\displaystyle S(a)=\int_{0}^t(xe^{-x}-ax)dx+\int_{t}^{\sqrt{2}}(ax-xe^{-x})dx$

$xe^{-x}$ の原始関数を $F(x)$ , $ax$ の原始関数を $G(x)$ とすると

$\displaystyle F(x)=-(x+1)e^{-x}\ ,\ G(x)=\frac{a}{2}x^2$

となるから

$S(a)=2F(t)-F(\sqrt{2})-F(0)-2G(t)+G(\sqrt{2})+G(0)$

$-F(\sqrt{2})-F(0)+G(0)=e^{-\sqrt{2}}(\sqrt{2}+1)+1$ は $a$ を含まない項の集まりでこの集まりを $K$ とおくと

$S(a)=-2(t+1)e^{-t}-at^2+a+K\\=-2e^{\log a}(1-\log a)-a(-\log a)^2+a+K\\=-2a(1-\log a)-a(\log a)^2+a+K\\=2a\log a-a(\log a)^2-a+K$

$S(a)$ を $a$ で微分すると

$\displaystyle S'(a)=2(\log a+a\cdot\frac{1}{a})-\{(\log a)^2+a\cdot2\log a\cdot\frac{1}{a}\}-1\\=2(\log a+1)-\{(\log a)^2+2\log a\}-1\\=1-(\log a)^2\\=(1-\log a)(1+\log a)$

$e^{-\sqrt{2}}≦a≦1⇔0≦-\log a≦\sqrt{2}$

ですから $1-\log a$ は正で定符号です。

よって， $S'(a)$ の符号は $1+\log a$ の符号と一致します。

$1+\log a$ は $a＞0$ で単調増加だから

$\log a\ ＞-1⇔a\ ＞\ e^{-1}$ のとき、 $S'(a)\ ＞\ 0$

$\log a\ ＜-1⇔a\ ＜\ e^{-1}$ のとき、 $S'(a)\ ＜\ 0$

$S(a)$ の増減は表のようになります。

$\begin{array}{|c|*5{c|}}\hline a & e^{-\sqrt{2}} & \cdots & e^{-1} & \cdots & 1 \\ \hline s'(a) & & - & 0 & + & \\ \hline s(a) & &\searrow& &\nearrow& \\ \hline \end{array}$

よって $S(a)$ の最小値は $S(e^{-1})$ です。

$S(e^{-1})=2e^{-1}\log e^{-1}-e^{-1}(\log e^{-1})^2-e^{-1}+K\\=2e^{-1}(-1)-e^{-1}(-1)^2-e^{-1}+e^{-\sqrt{2}}(\sqrt{2}+1)+1\\=(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}-4e^{-1}+1$ 　

これで問題が解けました。

解答の骨格

1. $y=ax$ と $y=xe^{-x}$ の交点を求める

2. 交点が $0≦x≦\sqrt{2}$ に含まれるか否かを考え $a＞1,\ 0≦a＜e^{-\sqrt{2}},\ e^{-\sqrt{2}}≦a≦1$ の場合分けをする

3. $a＞1,\ 0≦a＜e^{-\sqrt{2}}$ のとき $S(a)$ が最小値をもたないことを示す

4. $e^{-\sqrt{2}}≦a≦1$ のとき $S(a),S'(a)$ を計算して $S(a)$ の増減を調べて最小値を求める

解答例

$y=ax$ と $y=xe^{-x}$ の交点の $x$ 座標を求めると

$xe^{-x}=ax ⇔x(e^{-x}-a)=0$

$∴\ x=0\ , -\log a$

$-\log a＜0⇔a＞1\ , -\log a\ ＞\sqrt{2}⇔a＜e^{-\sqrt{2}}$

より

$a＞1,\ 0≦a＜e^{-\sqrt{2}},\ e^{-\sqrt{2}}≦a≦1$

の3つの場合に分けて考える

1. $a＞1$ のとき
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のようになるから

$xe^{-x}$ の原始関数を $F(x)$ , $ax$ の原始関数を $G(x)$ とすると

$\displaystyle F(x)=-(x+1)e^{-x}\ ,\ G(x)=\frac{a}{2}x^2$

$\displaystyle S(a)=\left[\ G(x)\ \right]_{0}^{\sqrt{2}}-\left[\ F(x)\ \right]_{0}^{\sqrt{2}}$

$S(a)=a-\left[\ F(x)\ \right]_{0}^{\sqrt{2}}$

$S'(a)=1$

よって

$a＞1$ のとき， $S(a)$ は単調増加となり $S(a)$ は最小値をもたない

2. $0≦a＜e^{-\sqrt{2}}$ のとき
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のようになるから

$\displaystyle S(a)=\int_{0}^{\sqrt{2}}(xe^{-x}-ax)dx$

$\displaystyle S(a)=\left[\ F(x)\ \right]_{0}^{\sqrt{2}}-\left[\ G(x)\ \right]_{0}^{\sqrt{2}}$

$S(a)=\left[\ F(x)\ \right]_{0}^{\sqrt{2}}-a$

$S'(a)=-1$

よって

$0≦a＜e^{-\sqrt{2}}$ のとき、 $S(a)$ は単調減少となり、 $S(0)$ で最大値をとるが最小値は存在しない

3. $e^{-\sqrt{2}}≦a≦1$ のとき
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のようになるから $t=\log a$ とおくと

$\displaystyle S(a)=\int_{0}^t(xe^{-x}-ax)dx+\int_{t}^{\sqrt{2}}(ax-xe^{-x})dx$

$\displaystyle S(a)=\left[\ F(x)\ \right]_{0}^t-\left[\ G(x)\ \right]_{0}^t+\left[\ G(x)\ \right]_{t}^{\sqrt{2}}-\left[\ F(x)\ \right]_{t}^{\sqrt{2}}$

$S(a)=2F(t)-F(\sqrt{2})-F(0)-2G(t)+G(\sqrt{2})+G(0)$

$S(a)=2a\log a-a(\log a)^2-a+e^{-\sqrt{2}}(\sqrt{2}+1)+1$

$S(a)$ を $a$ で微分すると

$\displaystyle S'(a)=2(\log a+a\cdot\frac{1}{a})-\{(\log a)^2+a\cdot2\log a\cdot\frac{1}{a}\}-1\\=(1-\log a)(1+\log a)$

$1-\log a$ は正で定符号だから $S'(a)$ の符号は $1+\log a$ の符号と一致する

$S(a)$ の増減表は下表のようになる

$\begin{array}{|c|*5{c|}}\hline a & e^{-\sqrt{2}} & \cdots & e^{-1} & \cdots & 1 \\ \hline s'(a) & & - & 0 & + & \\ \hline s(a) & &\searrow& &\nearrow& \\ \hline \end{array}$

よって, $e^{-\sqrt{2}}≦a≦1$ のとき $S(a)$ は

$S(e^{-1})=(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}-4e^{-1}+1$ 　

を最小値にもつ

1.2.3. より
$S(a)$ の最小値は $(\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}-4e^{-1}+1$ ( $a=e^{-1}$ のとき)　・・・（答）

まとめポイント

・　 $y=ax$ と $y=xe^{-x}$ は $a$ を含んだ式を連立させているのだから交点に $a$ が現れるのはすぐにわかるでしょう。

$a$ の値によって交点の位置が変化し $y=ax$ と $y=xe^{-x}$ の上下関係が決まるので $a$ の値で場合分けすることもすぐにわかるはずです。

・　交点が $0≦x≦\sqrt{2}$ に含まれるときだけを考える人がいるので注意しましょう。

これだと $e^{-\sqrt{2}}≦a≦1$ の場合しか考えておらず問題文の $a≧0$ の要求（ $a≧0$ の場合を全部調べろ）に応えられていないことになります。

・　 $a＞1,\ 0≦a＜e^{-\sqrt{2}},\ e^{-\sqrt{2}}≦a≦1$ の3つの場合分けになります。

問題文の要求を確認しましょう。
$S(a)$ の最小値です。
これを正確に解釈すると

$S(a)$ が最小値をとるような $a$ が存在するとしてそのときの $S(a)$ を求めよ。

です。

$S(a)$ が最小値をとるような $a$ が存在するとは限りません。
$a$ の範囲によっては $S(a)$ の最小値が存在しないこともありうるのです。
存在しないものを求めることはできませんのでそのような $a$ の範囲は除外されます。

つまり最小値の議論をする前提として最小値の存在の有無を確認する必要があります。
・　 $a＞1,\ 0≦a＜e^{-\sqrt{2}}$ のとき $S(a)$ の最小値が存在しないことを明示してください。

仮に最小値が存在したとすると $a$ の各場合の最小値を求めてその中からさらに最小なもの決めることになります。

本問の場合、3パターン中2パターンに最小値が存在しないおかげで最小値の存在を1パターンに絞ることができるのです。

・　 $e^{-\sqrt{2}}≦a≦1$ のとき、 $S(a)$ は多少煩雑な式となります。
このときの計算ポイントとしてはのちの微分を見据えて定数項を1文字にまとめて変数部の計算に集中することです。
こうすることで計算ミスが減らせるでしょう。

最後に

極めて標準的な微積分の入試問題です。
京大基準としては易問になります。

方針で悩む所はほとんどないでしょう。

$a＞1,\ 0≦a＜e^{-\sqrt{2}}$ のとき、図だけから $S(a)$ の単調性を判断することもできますが、計算しても1次の $a$ の項と定数項が現れる簡単なものなので計算で $S(a)$ の単調性を明示したほうが安全だと思います。

計算ミスに気を付けて25分以内に完答したい問題です。