2017年東京大学数学理系第5問を解こう

今回は2017年東京大学数学理系第5問を解いていきます。
問題はこちら

$k$ を実数とし，座標平面上で次の２つの放物線 $C,D$ の共通接線について考える。

$C:　y=x^2+k$

$D:　x=y^2+k$

(1) 直線 $y=ax+b$ が共通接線であるとき， $a$ を用いて $k$ と $b$ を表せ。
ただし $a\neq-1$ とする。

(2) 傾きが２の共通接線が存在するように $k$ の値を定める。
このとき，共通接線が３本存在することを示し，それらの傾きと $y$ 切片を求めよ。

（2017 東京大学理科第５問）　

（１）思考過程

共通接線に関する問題です。

接線の求め方としては導関数を利用する方法もありますが
放物線の接線なので重解条件を利用するのがよさそうです。

$y=ax+b$
を $C$ の式に代入して
$ax+b=x^2+k⇔x^2-ax+k-b=0$

「 $y=ax+b$ と $y=x^2+k$ が接する」⇔「 $x^2-ax+k-b=0$ が重解を持つ」
ですから
$（x^2-ax+k-b=0）$ の判別式 $=0$
$⇔a^2-4(k-b)=0\\ ⇔a^2-4k+4b=0$ ・・・①

$D$ の場合も同様にして
$(ax+b)^2+k=x⇔a^2x^2+(2ab-1)x+b^2+k=0$
重解条件より
$(2ab-1)^2-4a^2(b^2+k)=0\\ ⇔4ka^2+4ab-1=0$ ・・・②

$a$ を用いて $k,b$ を表せとのことですから
①,②を $k,b$ の連立方程式とみなして解きます。

①×a-②を作ると $b$ が消えるのでよさそうですが $a$ が $0$ のとき意味がないので $a$ が $0$ の場合を調べておきます。
$a=0$ のとき,②が $-1=0$ となって成立しません。
よって $a=0$ は重解条件を満たしませんので $D$ の接線となりません。
（図形的に考えるとより明らかです）

$a\neq0$ のもとで①×a-②より
$a^3-4ka(a+1)+1=0\\ ⇔4ka(a+1)=a^3+1\\ ⇔4ka(a+1)=(a+1)(a^2-a+1)$
$a\neq1$ より
$\displaystyle k=\frac{a^2-a+1}{4a}$

$k$ が $a$ で表せました。これを①に代入して
$\displaystyle 4b=\frac{-a^3+a^2-a+1}{a}\\ \displaystyle b=\frac{(1-a)(1+a^2)}{4a}$

これで（１）が解けました。

解答の骨格

１． $y=ax+b$ と $y=x^2+k$ を連立させて重解条件を得る
２． $y=ax+b$ と $x=y^2+k$ を連立させて重解条件を得る
３．１．２．を $k$ と $b$ について解く

解答例

直線 $y=ax+b$ を $L$ とする
$L$ と $C$ が接するとき
$ax+b=x^2+k\\ ⇔x^2-ax+k-b=0$
は重解を持つので
$a^2-4k+4b=0$ ・・・①

$a=0$ とすると, $L$ は $x$ 軸に平行となり $x$ 軸を軸とする放物線 $D$ と接することができない。
よって $a\neq0$ である

$L$ と $D$ が接するとき
$(ax+b)^2+k=x\\ ⇔a^2x^2+(2ab-1)x+b^2+k=0$
は重解を持つので
$4ka^2+4ab-1=0$ ・・・②

①×a-②より
$a^3-4ka(a+1)+1=0\\ ⇔4ka(a+1)=(a+1)(a^2-a+1)$
$a\neq1$ より
$\displaystyle k=\frac{a^2-a+1}{4a}$ ・・・③
③を①に代入して
$\displaystyle b=\frac{(1-a)(1+a^2)}{4a}$
以上より
$\displaystyle k=\frac{a^2-a+1}{4a},\ b=\frac{(1-a)(1+a^2)}{4a}$ ・・・（答）

まとめポイント

・放物線 $C$ の $x$ と $y$ を入れ替えると放物線 $D$ の式になるので
放物線 $C$ と放物線 $D$ は $y=x$ について対称です。

・ $a=0$ のとき, $y=b$ となり $x$ 軸に平行な直線となります。
これが $C$ と接するのは $C$ の頂点においてです。
(図形的に明らかですが、式で確認すると $C$ の導関数 $y’=2x$ が $y'=0$ となるのは $x=0$ のときです)
よって $b=k$ となります。
$C$ の接線 $y=k$ は $D$ と必ず交わります。
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よって $y=ax+b$ が共通接線となるとき、 $a\neq0$ です。

・ $a\neq0$ を示した後、 $y=ax+b$ を $x$ について解いて
$\displaystyle x=\frac{1}{a}y-\frac{b}{a}$
として放物線 $D$ との連立を考えるとちょっと計算がラクになります。
①において
$\displaystyle a→\frac{1}{a},\ b→-\frac{b}{a}$
としたものが②です。

（２）思考過程

共通接線の傾きが $a$ なのですから(1)で求めた $a$ で表された $k,b$ に $a=2$ を代入してみましょう。
すると
$\displaystyle k=\frac{3}{8},b=-\frac{5}{8}$
となります。
$k$ の値が確定したので放物線の形も決定されます。
あとは $\displaystyle k=\frac{3}{8}$ のとき、 $a=2$ 以外の $a$ の値が2つ定まれば共通接線が3つ存在することになります。

ここで、 $C$ と $D$ が直線 $y=x$ について対称であることを考えると
共通接線の１つである $\displaystyle y=2x-\frac{5}{8}$
の $y=x$ について対称な直線
$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{16}$
も共通接線となります。

式で確認すると(1)の $k$ に $\displaystyle k=\frac{3}{8}$ を代入して
$\displaystyle \frac{3}{8}=\frac{a^2-a+1}{4a}\\ ⇔2a^2-5a+2=0\\ ⇔(a-2)(2a-1)=0$
$∴\displaystyle a=2,\frac{1}{2}$
$\displaystyle a=\frac{1}{2}$ のときも共通接線となることが確認できました。

あれ？ $\displaystyle k=\frac{3}{8}$ のとき、 $a$ の値が2つしか出てきません。
うーん・・・どうしたものでしょう。

図形的に考えると対称軸である $y=x$ について線対称な直線の傾き－１が $a$ の値になると考えられますが(1)では $a\neq-1$ となっています。
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・・・困りました。
・・・
・・・・・・
・・・なんで $a\neq-1$ としているのでしょう？
(1)で $k$ を求める計算過程を見ると
$4ka(a+1)=(a+1)(a^2-a+1)$
から両辺を $a+1$ で割るのに $a\neq-1$ を用いています。
つまり(1)で求めた $k$ は $a\neq-1$ のときの値でそこから導かれる $b$ の値も $a\neq-1$ のときの値です。
(1)で求めた $k,b$ に $a=-1$ を代入することはできません。

そこで(1)で求めた $k,b$ の大元の式である①,②に $a=-1$ を代入してみると
①,②ともに
$4k-4b-1=0$ ・・・③
となります。
結局この同型の式③となるのを回避するために $a=-1$ としているのでした。

よく考えてみれば $a\neq-1$ としているのは(1)のときだけであって(2)の場合にこの制限が及ばないことに気付くべきでした。

③に $\displaystyle k=\frac{3}{8}$ を代入すると
$\displaystyle b=\frac{1}{8}$
となって $a=-1$ のときの $y$ 切片が求まります。

これで $\displaystyle k=\frac{3}{8}$ のときの $a$ の値が3つ定まりました。
あとは各々の $a$ の値に応じた $b$ の値を求めれば終わりです。

$\displaystyle a=2,\frac{1}{2}$ を(1)の $b$ に代入して
$\displaystyle b=-\frac{5}{8},\ \frac{5}{16}$
$a=-1$ のときは $\displaystyle b=\frac{1}{8}$

これで共通接線の傾き $a$ と $y$ 切片 $b$ の組が3つ得られ
$\displaystyle k=\frac{3}{8}$ のときのとき共通接線が3本存在することが示せました。

(2)が解けました。

解答の骨格

１．(1)の $k$ に $a=2$ を代入して $k$ の値を確定させる
２．１.で求めた $k$ の値に対応する $(a,b)$ の組を3つ求める

解答例

$\displaystyle k=\frac{a^2-a+1}{4a}$ に $a=2$ を代入すると
$\displaystyle k=\frac{3}{8}$
$\displaystyle k=\frac{3}{8}$ を①,②に代入して
$2a^2+8b-3=0$ ・・・①’
$3a^2+8ab-2=0$ ・・・②’
①’より
$\displaystyle b=-\frac{a^2}{4}+\frac{3}{8}$ ・・・④
④を②’に代入して
$2a^3-3a^2-3a+2=0\\ ⇔(a-2)(2a-1)(a+1)=0$
$\displaystyle ∴a=2,\ \frac{1}{2},-1$
これらの $a$ を④に代入して
$\displaystyle b=-\frac{5}{8},\ \frac{5}{16},\ \frac{1}{8}$

以上より $\displaystyle k=\frac{3}{8}$ のとき、共通接線 $y=ax+b$ の傾きと $y$ 切片の組 $(a,b)$
が $a=2$ を含めて3組存在する。
よって共通接線は3本存在し、その傾きと $y$ 切片は
$\displaystyle (a,b)=(2,-\frac{5}{8}),(\frac{1}{2},\frac{5}{16}),(-1,\frac{1}{8})$
・・・（答）

まとめポイント

・ $\displaystyle a=2⇒k=\frac{3}{8}$
です。 $\displaystyle k=\frac{3}{8}$ は $a=2$ であるための必要条件です。
つまり $\displaystyle k=\frac{3}{8}$ のときに傾きが2となる共通接線が存在します。
これを
$\displaystyle k=\frac{3}{8}⇒a=2$
と解釈して $\displaystyle k=\frac{3}{8}$ のときの $a$ が2に限られるとする間違いが見受けられるので注意してください。

・ $\displaystyle k=\frac{3}{8}$ のときの $a=2$ 以外の $a$ の値を2つ見つけることを考えます。
問題文の「このとき」とは $\displaystyle k=\frac{3}{8}$ のときのことです。

・ $\displaystyle k=\frac{3}{8}$ を(1)で求めたkの式に代入すると $a$ についての2次方程式となり、 $a$ の値が2つしか求まりません。
私のように(1)の $a\neq-1$ の制限が(2)にも及んでると解釈してしまうとハマる危険性があります。
(1)で求めた $k,b$ の値が $a\neq-1$ のときの値であることに注意すると $a=-1$ のとき $k,b$ の値はどうなるかに考えが及ぶかと思います。
この点に気が付くとハマりから脱出できます。

ただ $a=-1$ のときであっても $k$ は $\displaystyle \frac{3}{8}$ です。
$a=-1$ を(1)の $k$ に代入して
$\displaystyle k=-\frac{3}{4}$
としないようにしてください。

・ $a\neq-1$ の条件が2つの重解条件を連立する過程で使われていることに注意すると
重解条件を連立する前では $a=-1$ の場合を含んでいることがわかります。
そこで解答例では $C$ を(1)の $k$ ではなく重解条件の $k$ に代入することで
$a=-1$ の場合もまとめて求めることにしています。

重解条件に $\displaystyle k=\frac{3}{8}$ を代入して連立した $a$ についての方程式が $a$ の3次方程式となって $a$ が高々3つ存在することを示唆してくれています。
あとはこの3次方程式が相異なる3つの解をもてばめでたく共通接線の傾きが3つ存在することになります。
$a=2$ を解にもつのはわかりますから因数分解も容易にできて解決となります。

最後に

(1)はなんてことないでしょう

(2)で私のように問題文を読み誤るとハマります。
$a$ の値が3つ欲しいのに2つしか出てこないといった風に不都合が生じたら
条件に見落としはないか・問題文の読み間違いがないか確認しましょう。
試験本番ではハマりからの脱出速度が点数を大きく左右します。

恥ずかしい話、私が今年の東大数学でもっとも苦戦した箇所がここです。
$a\neq-1$ としているのは(1)のときだけであって(2)の場合にこの制限が及ばないこと f:id:tarumaru:20170711013410p:plain f:id:tarumaru:20170711013421p:plain に気付くのに10分近くかかってしまいました。

賢明なみなさんなら大丈夫でしょうが、私のようなアホなことをしないように気を付けましょう。