2017年東京大学数学理系第3問を解こう（２）

梅雨でジメジメとした日が続きますが数学の問題を解いてアタマはスッキリさせましょう。
前回の続きとなる(2)を解きましょう。
問題はこちら

複素数平面上の原点以外の点 $z$ に対し， $\displaystyle ω=\frac{1}{z}$ とする。
(1) $α$ を $０$ でない複素数とし，点 $α$ と原点 $\mathrm{O}$ を結ぶ垂直二等分線を $L$ とする。
点 $z$ が直線 $L$ 上を動くとき，点 $ω$ の軌跡は円から $１$ 点を除いたものになる。
この円の中心と半径を求めよ。

(2) $１$ の $３$ 乗根のうち，虚部が正であるものを $β$ とする。点 $β$ と点 $β^2$ を結ぶ線分上を点 $z$ が動くときの点 $ω$ の軌跡を求め，複素数平面上に図示せよ。

(2017 東京大学理科第３問)

思考過程

求めるものは(1)と同様、 $ω$ の軌跡です。
$ω$ が $z$ によって決まるのも同じですが、 $z$ の動く領域が $β$ と $β^2$ を結ぶ線分上となり $z$ の存在条件が $β$ によって決定されることになります。
そこでまずは $β$ を求めることにしましょう。
$β$ は1の3乗根ですから $x^3=1$ の解です。

$x^3=1\\ x^3-1=0\\ (x-1)(x^2+x+1)=0$
$β$ の虚部は正だから $β$ は虚数で $x^2+x+1=0$ の解
これを解いて
$\displaystyle β=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\\\displaystyle β^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$

これで $β$ と $β^2$ が求まりました。
では $z$ が $β$ と $β^2$ を結ぶ線分上にあることをどうすれば数式化できるでしょうか。
ここで $β$ と $β^2$ は共役であり実軸に対して対称であることに注目します。
このとき $β$ と $β^2$ を結ぶ線分は虚軸に対して平行ですから実軸に対して垂直となります。
また $β$ と $β^2$ を結ぶ線分上にある点は実部の値が常に $\displaystyle -\frac{1}{2}$ です。
常に一定値をとるということと垂直ということから垂直二等分線が想起されます。
ということは(1)が利用できそうです。

$β$ と $β^2$ を結ぶ線分が垂直二等分線になるとするとどの２点に対して等距離にあるとすればいいのでしょうか。
(1)の利用を考えれば $|z|=|z-α|$ のO, $α$ のうち、Oはそのままにして $α$ の値を変えればよさそうです。
Oと $α$ を結ぶ線分が $β$ と $β^2$ を結ぶ線分に対して垂直となればいいのですから $α$ を実軸上にとればいいのです。
　Oと $α$ （実数）が $\displaystyle -\frac{1}{2}$ から等距離にある。
⇔ $\displaystyle -\frac{1}{2}$ はOと $α$ の中点
⇔ $α=-1$

これで $β$ と $β^2$ を結ぶ線分上にある $z$ が
$\ \ \ \ \ |z|=|z-(-1)|\\ \Leftrightarrow|z|=|z+1|・・・①$
として数式化されました・・・？
まだ不十分です。
①は $z$ がOと-1から等距離にある直線上にあることを意味しており線分ではありません。
どうやって線分上にあるという条件を付け加えればよいのでしょうか。
直線を線分にすることは長さを限定することです。
なにか長さを限定する条件はないかと考えて①を視覚化すると
f:id:tarumaru:20170623142844p:plain

$β$ と $β^2$ を結ぶ線分がOを中心とする半径1の円内に収まることがわかります。
つまり $β$ と $β^2$ を結ぶ線分上にある $z$ はOからの距離が1以内
⇔ $|z|≦１$ ・・・②

よって $z$ が①かつ②を満たすことが $z$ が $β$ と $β^2$ を結ぶ線分上にある条件です。
あとは(1)と同様にして $\displaystyle ω=\frac{1}{z}$ を①かつ②に代入すれば終わりです。
(1)より $ω\not=0$ に注意して
①に $\displaystyle ω=\frac{1}{z}$ を代入して
$\displaystyle \ 　\left|\frac{1}{ω}\right|=\left|\frac{1}{ω}+1\right|\\ ⇔|ω+1|=1・・・①’$
②に $\displaystyle ω=\frac{1}{z}$ を代入して
$\displaystyle \ 　\left|\frac{1}{ω}\right|≦１\\ ⇔|ω|≧1・・・②’$
①’かつ②’を満たす点 $ω$ の集合が求める軌跡です。
①’は下図の円 f:id:tarumaru:20170623142847p:plain 、②’は下図の灰色の領域 f:id:tarumaru:20170623142837p:plain になります。
この共通集合を図示すれば答えとなります。

解答の骨格

1.　 $x^3=1$ を解いて $β$ と $β^2$ を求める

2.　 $z$ が $β$ と $β^2$ を結ぶ線分上にある条件
　　 $|z|=|z+1|かつ|z|≦１$ を導く

3.　 $\displaystyle ω=\frac{1}{z}$ を２．の式に代入して $ω$ の式を導いて図示する

解答例

$β$ は $1$ の3乗根だから $x^3=1$ の解
$\ \ \ 　x^3=1\\ ⇔(x-1)(x^2+x+1)=0$
$β$ は虚数だから $x^2+x+1=0$ の解、 $β$ の虚部は正より
$\displaystyle β=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ ,これより $\displaystyle β^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$
$β$ と $β^2$ を結ぶ直線は点Oと点 $-1$ の垂直二等分線となる
$z$ が動くのはその直線のうち、 $|z|≦１$ を満たす部分となる線分である
(1)の $α$ を $-1$ として
$|z|=|z+1|$ かつ $|z|≦１$ ・・・①
(1)より $ω\not=0$ に注意して①に $\displaystyle ω=\frac{1}{z}$ を代入して整理した式が求める点 $ω$ の軌跡である
$|ω+1|=1$ かつ $|ω|≧1$ ・・・②
②より点 $ω$ の軌跡は $-1$ を中心とする半径 $1$ の円のうち、Oを中心とする半径 $1$ の円周を含んだ外側の部分である
これを図示すると下図の実線となる

f:id:tarumaru:20170623142841p:plain

まとめポイント

$β$ と $β^2$ が実軸に対して対称であることより垂直二等分線を想起できれば自然と(1)の利用が思いつくはずです。
あとは $β$ と $β^2$ を結ぶ線が直線ではなく線分であることを立式できたかどうかがポイントです。
$z$ ないし $ω$ を具体的にa+biなどとおいて
　 $β$ と $β^2$ を結ぶ線分上にある $z$
⇔ $z$ の実部= $\displaystyle -\frac{1}{2}$ かつ $z$ の虚部≦ $\displaystyle \left|\frac{\sqrt{3}}{2}\right|$
と計算から求めることもできますが時間がかかります。
(1)の利用への誘導が明白なので素直に(1)を利用するのが得策です。

最後に

さて、2017年度東京大学理系数学第3問を解いたわけですがいかがでしたでしょうか。
「あれ、なんか簡単じゃね？」と思った人も多いのではないでしょうか。
解答例を見ればわかるように計算量はとても少ないです。
また解答の骨格からわかるように答えに至るステップも少ないです。
これは今年の東大数学の他の問題にも共通していて今年の東大数学が大幅易化したと言われる所以です。
さらにこの問題(1)では軌跡を求める点の概形が円であるとはっきり与えられています。
（普通の入試問題ならどんな軌跡になるかを求めさせます）
このおかげで答えの形が $|ω-?|=?$ となることは容易にわかり $z$ の存在条件である垂直二等分線もこの形が参考となるので立式は容易です。
さらにさらに軌跡に除外点があることをわざわざ明示しています。
（これまた普通の入試問題なら場合分けが必要な除外点の存在に気付くかどうかが採点ポイントになります）
このおかげで $ω\not=0$ に気づいて減点を免れた人もいたことでしょう。
ここまで親切な東大数学は見たことがありません。
今年の東大数学を象徴するような問題として第3問を選んでみました。

「全然わからなかった～」という人もいるでしょう。
まだ受験本番まで時間はあります。
今はできなくても本番までにできるようにすればいいんです。
むやみやたらと問題数をこなすのではなく一問一問しっかりと考えて身に付けていくのが受験数学を攻略する近道です。
がんばっていきましょう。